Recherche en mathématiques sur un billiard tridimensionnel

Steve Mendeleev joue parfois au billiard – en deux dimensions, et sur une vraie table. Mais c’est sur un billiard tridimensionnel qu’il a publié récemment, ce qui lui a valu d’être lauréat (pour la 2e fois !) du concours national « Jonk Fuerscher 2023 », organisé par la Fondation Jeunes Scientifiques Luxembourg (FJSL).

Jeune diplômé de l’International School of Luxembourg, il est désormais invité à présenter ses résultats à Taiwan en 2024 lors d’un nouveau concours scientifique.

En une phrase : quel est le pitch du projet de Steve ?

Etudier les motifs d'une bille rebondissant dans un parallélépipède !

Et pour cela, il faut un billard tridimensionnel. Mais qu’est-ce que c’est, au juste ?

Ce billard est en réalité un parallélépipède dont les côtés ont une longueur équivalente à un nombre entier. La bille (assimilable à un point matériel) se déplace en ligne droite et à vitesse constante. Elle rebondit sur les côtés selon une loi simple : l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion, en l’occurrence 45°. Aucune interférence (frottement du tapis, résistance de l’air) n’est prise en compte ; c’est donc bien différent de la réalité.

Et ensuite ? « Nous permettons à la bille de partir de n'importe lequel des 8 coins, ce qui donne une trajectoire périodique connue sous le nom de trajectoire de coin. J’ai étudié les points de contact entre la bille et les côtés ; leurs caractéristiques peuvent être décrites mathématiquement », explique Steve. C’est pourquoi le billard tridimensionnel est aussi connu sous le nom de billard arithmétique.

Comment réussir à caractériser mathématiquement le trajet imprévisible d’une bille de billard ?

« Prof. Antonella Perucca (de l’Université du Luxembourg), qui a supervisé mon travail, m'a envoyé un script informatique écrit dans un langage de programmation dénommé « Python » (cf. Infobox), créé par un scientifique qui travaillait déjà sur le sujet. Ce programme simule la trajectoire d’une bille dans un billard tridimensionnel. J'ai passé une semaine à améliorer le script afin qu'il puisse inclure davantage de caractéristiques (combien de temps la bille met-elle pour effectuer toute une trajectoire ? Combien de fois touche-t-elle les arêtes ? etc.). »

« J’ai ensuite passé le plus clair de mes 6 mois de recherche à nourrir ce programme avec des centaines d’exemples de parallélépipèdes différents. En étudiant les résultats obtenus (càd toutes les combinaisons possibles de trajets effectués), des motifs me sont apparus.  Il m’a ensuite fallu trouver les bonnes questions pour faire de ces motifs des équations mathématiques. »

Ce type d’approche demande beaucoup de vision : pas évident de trouver du sens dans une longue série de chiffres !

A quoi ressemble de la recherche en mathématiques ?

Il faut d’abord trouver la question, ce qui n’est pas si simple ! En effet, l’énigme que l’on souhaite résoudre doit être mathématiquement accessible, et ne pas avoir été résolue auparavant.

Voici le cheminement de Steve : « Lorsque j’ai découvert les billards tridimensionnels, j’ai d’abord lu toute la littérature existante sur le sujet. Puis j’ai collecté les données ; pour cela, j’ai nourri mon programme informatique de centaines d’exemples de billards arithmétiques différents, ce qui a occupé la majeure partie de mon temps. Le processus n’était pas linéaire : je n’ai pas trouvé tous les motifs d’un coup. J’observais les données brutes, trouvais des motifs, m’appliquais à les démontrer mathématiquement – puis je retournais aux données, trouvais encore d’autres motifs… etc. Parfois on pense découvrir un motif, mais c’est une impasse ; cela peut coûter beaucoup de temps. »

Et pour se changer les idées ? Steve allait souvent se promener, essayant de penser à tout sauf au problème… L’une des solutions lui est d’ailleurs venue en pleine partie de bowling !

Faut-il être un génie en maths pour faire de la recherche dans ce domaine ?

Steve pense que ce n’est pas le cas. Il n’a pas toujours eu la passion des maths ; l’intérêt lui est venu progressivement, avec l’exposition. Selon lui, n’importe qui peut voir des motifs émerger de données brutes. Les démonstrations mathématiques nécessitent bien entendu de la persévérance et l’acquisition de certaines connaissances – mais ce n’est pas le plus important. Il dit à ce sujet : « L’éveil de l’intérêt est la composante essentielle de la recherche. Il faut être réellement intéressé par un problème, et motivé par sa résolution ; tout le reste en découle, peu importe la nature du sujet. »

À tous les jeunes scientifiques : participez au programme "Science : Next" de la Fondation Jeunes Scientifiques Luxembourg ! "Science : next" est un programme de formation continue extrascolaire qui permet aux jeunes scientifiques âgés de 11 à 21 ans d'acquérir des compétences utiles pour se préparer au concours national Jonk Fuerscher et à l'entrée à l'université. Plus d'infos et programme 2023/2024 dans cet article :

Auteur: Diane Bertel
Éditeur: Michele Weber (FNR)